Review

给定一个 的矩阵 ，它的特征值 和对应的特征向量 满足：

其中：

这个方程说明矩阵 作用于特征向量 时，只是将 缩放，而不改变方向。

假设矩阵 有 个线性无关的特征向量 。我们可以将这些特征向量排成一个矩阵 ：

其中，矩阵 的每一列是一个特征向量。

由于每一个特征向量 满足 ，我们可以将这个关系写成矩阵形式：

根据每个特征向量的定义，这就变成了：

换句话说：

其中，矩阵 是一个对角矩阵，其对角线上的元素是矩阵 的特征值：

现在我们有了 ，为了将矩阵 对角化，我们可以在这个方程两边同时乘以 ：

由于 是单位矩阵 ，我们得到：

这就是矩阵对角化的公式。

通过相似变换 ，我们将矩阵 转换为一个对角矩阵 ，对角线上的元素就是矩阵 的特征值。这意味着矩阵 的本质性质（特征值）可以通过对角化过程显现出来，而这个对角矩阵可以极大简化某些复杂的矩阵运算。