Back Propagation

Computing Gradients

Computing Gradients

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要更新神经网络中某一层的梯度，我们需要基于反向传播（Backpropagation）算法的步骤。这是深度学习中训练神经网络的核心步骤，它可以分为几个主要步骤：前向传播、计算损失、反向传播计算梯度、更新权重。假设我们已经完成了前向传播并计算了损失，现在我们要更新某一层的梯度。以下是详细的步骤：

1. 前向传播计算输出

假设你有一个输入 和对应的输出，前向传播可以通过神经网络计算出模型的预测输出。然后，我们会基于实际的 和预测的 计算损失（通常是均方误差或交叉熵）。

2. 反向传播计算梯度

在反向传播中，我们从输出层开始逐层计算梯度，直到到达目标层。这一步的关键是利用链式法则计算每层参数对损失 的偏导数。

假设我们有一个中间层，其输入为，权重为，激活函数为，输出为。我们关心的是如何更新这一层的权重。

(1) 计算损失对输出的偏导数

首先，我们需要计算损失对这一层输出 的偏导数。如果 层不是输出层，则可以根据下一层的梯度计算得到：

(2) 计算损失对权重的偏导数

接下来，我们要计算损失对 层权重 的偏导数。通过链式法则，我们可以得到：

如果，那么：

所以，最终我们得到：

其中 是激活函数 的导数。

3. 更新权重

一旦得到了梯度，我们可以使用梯度下降法更新权重。假设学习率为，则更新公式为：

  • 解释：这一公式表示我们沿着损失函数的负梯度方向调整权重，使得损失逐渐减小，从而提高模型的预测准确度。
  • 学习率：学习率控制步长。步长过大可能会错过最优解，步长过小则训练速度较慢。

4. 反复应用上述步骤

反向传播和权重更新的过程会对每一层重复进行，直到所有层的权重都更新完毕。这一轮的梯度计算和更新完成后，模型的权重就得到了调整。然后，我们继续下一轮训练（即下一批数据），重复上述的前向传播、反向传播和更新步骤。

例子：单层的梯度更新

假设你要更新某个中间层 的梯度：

  1. 首先计算损失对该层输出 的梯度。
  2. 然后，利用链式法则，计算该层权重 的梯度。
  3. 使用梯度下降更新权重：。

小结

更新某一层的梯度的关键步骤包括：

  • 计算每层输出的梯度。
  • 根据每层的输出梯度推导权重的梯度。
  • 使用学习率调整权重。

以上就是更新某一层梯度的完整步骤。如果你还有不理解的地方，或者想了解更具体的计算例子，请告诉我！

Table Of Contents
Back Propagation
1. 前向传播计算输出
2. 反向传播计算梯度
(1) 计算损失对输出的偏导数
(2) 计算损失对权重的偏导数
3. 更新权重
4. 反复应用上述步骤
例子：单层的梯度更新
小结